Séries statistiques à deux variables

Les notions à connaître

Série à deux variables

Deux caractères quantitatifs $x$ et $y$ mesurés sur une même population. Chaque individu donne un couple $(x\,;y)$. Exemple : pour chaque année, le rang $x$ et le chiffre d'affaires $y$ en milliers d'euros.

Nuage de points

Représentation graphique des couples $(x_i\,;y_i)$ dans un repère. La forme du nuage indique s'il existe un lien entre $x$ et $y$. Exemple : un nuage qui monte de gauche à droite suggère que $y$ augmente avec $x$.

Point moyen

Le point $G(\overline{x}\,;\overline{y})$ où $\overline{x}$ est la moyenne des $x_i$ et $\overline{y}$ la moyenne des $y_i$. C'est le centre de gravité du nuage. Exemple : si $\overline{x}=3$ et $\overline{y}=52$, alors $G(3\,;52)$.

Ajustement affine

Remplacer le nuage par une droite d'équation $y = ax + b$ qui passe au plus près des points (méthode des moindres carrés). On obtient $a$ et $b$ à la calculatrice. Exemple : $y = 4{,}5x + 38$.

Coefficient de corrélation $r$

Nombre compris entre $-1$ et $1$ qui mesure la qualité de l'alignement. Si $r$ est proche de $1$ ou de $-1$, la corrélation est forte et l'ajustement est fiable ; si $r$ est proche de $0$, il n'y a presque pas de lien affine. Exemple : $r \approx 0{,}98$ indique une très forte corrélation.

Interpolation / extrapolation

Utiliser la droite $y = ax + b$ pour prévoir : interpoler = estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données ; extrapoler = prolonger au-delà. Exemple : prévoir le chiffre d'affaires de l'année $x = 8$ avec $y = 4{,}5 \times 8 + 38$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre $a$ et $b$ dans $y = ax + b$.

  ✓ $a$ est le coefficient directeur (devant $x$) et $b$ l'ordonnée à l'origine. Sur la calculatrice, bien repérer lequel est lequel dans l'affichage.

• ✗ Croire qu'une forte corrélation prouve une cause.

  ✓ Un $r$ proche de $1$ signifie que les points sont alignés, pas que $x$ « cause » $y$. Corrélation n'est pas causalité.

• ✗ Extrapoler très loin des données et faire confiance au résultat.

  ✓ Plus on s'éloigne de la plage des $x$ observés, moins la prévision est fiable. À signaler dans la réponse.

• ✗ Arrondir $a$ et $b$ trop tôt puis calculer une prévision.

  ✓ Utiliser les valeurs non arrondies stockées dans la calculatrice, ou garder au moins 3 décimales avant de calculer $y$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Une série statistique à deux variables associe à chaque individu :
2. Les coordonnées du point moyen $G$ d'un nuage de points sont :
3. Pour les valeurs $x$ : $2$, $4$, $6$, $8$, la moyenne $\overline{x}$ vaut :
4. Le coefficient de corrélation linéaire $r$ est toujours compris entre :
5. La droite d'ajustement d'un nuage a pour équation $y = 4{,}5x + 38$. La prévision pour $x = 8$ est :