Fonctions exponentielles de base a

Les notions à connaître

Fonction exponentielle de base $a$

Fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=a^x$, avec $a>0$ et $a\neq 1$. Elle est strictement positive : $a^x>0$. Exemple : $f(x)=1{,}05^x$ (croissance de $5\%$).

Coefficient multiplicateur

Une hausse (ou baisse) au taux $t\%$ correspond au coefficient multiplicateur $a=1+\dfrac{t}{100}$. Une hausse de $5\%$ donne $a=1{,}05$ ; une baisse de $8\%$ donne $a=0{,}92$. Après $x$ périodes, la valeur est multipliée par $a^x$.

Sens de variation

Si $a>1$, la fonction $f(x)=a^x$ est strictement croissante (croissance exponentielle). Si $0<a<1$, elle est strictement décroissante (décroissance exponentielle). Exemple : $1{,}03^x$ croît, $0{,}9^x$ décroît.

Propriété fondamentale

Pour tous réels $x$ et $y$ : $a^{x+y}=a^x\times a^y$. Ajouter les exposants revient à multiplier les puissances. Exemple : $2^3\times 2^4=2^7$.

Valeurs particulières

Pour tout $a>0$ : $a^0=1$ et $a^1=a$. De plus $a^{-x}=\dfrac{1}{a^x}$. Exemple : $1{,}05^0=1$ et $1{,}05^{-1}=\dfrac{1}{1{,}05}$.

Intérêts composés

Un capital $C_0$ placé au taux annuel $t\%$ vaut après $x$ années $C_x=C_0\times a^x$ avec $a=1+\dfrac{t}{100}$. C'est une suite géométrique de raison $a$ vue comme une fonction exponentielle.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire $a^{x+y}=a^x+a^y$.

  ✓ On MULTIPLIE : $a^{x+y}=a^x\times a^y$. On n'additionne jamais les puissances.

• ✗ Prendre $a=t/100$ au lieu du coefficient multiplicateur.

  ✓ Pour une hausse de $t\%$, le coefficient est $a=1+\dfrac{t}{100}$ (ex. $+5\%\Rightarrow a=1{,}05$), pas $0{,}05$.

• ✗ Confondre baisse de $t\%$ et $a=1-t$.

  ✓ Une baisse de $8\%$ donne $a=1-\dfrac{8}{100}=0{,}92$, pas $a=1-8$.

• ✗ Croire que $a^x$ peut être négatif ou nul.

  ✓ Comme $a>0$, on a toujours $a^x>0$ : la courbe reste au-dessus de l'axe des abscisses.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Pour quelles valeurs de $a$ la fonction $f(x)=a^x$ est-elle une fonction exponentielle de base $a$ ?
2. Quel est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de $5\%$ ?
3. La fonction $f(x)=0{,}9^x$ est :
4. Que vaut $a^0$ pour $a=1{,}08$ ?
5. En utilisant $a^{x+y}=a^x\times a^y$, que vaut $2^3\times 2^4$ ?