Fonction logarithme décimal

Les notions à connaître

Définition

Pour tout réel $x$, $\log(10^x)=x$, et pour tout $x>0$, $10^{\log(x)}=x$. Le logarithme décimal n'est défini que pour les nombres strictement positifs. Exemple : $\log(10^4)=4$.

Valeurs de référence

$\log(1)=0$, $\log(10)=1$, $\log(100)=2$, $\log(1000)=3$. Plus généralement $\log(10^n)=n$. Exemple : $\log(100000)=\log(10^5)=5$.

Propriété du produit

Le logarithme d'un produit est la somme des logarithmes : $\log(a\times b)=\log(a)+\log(b)$ pour $a>0$ et $b>0$. Exemple : $\log(1000)=\log(10\times 100)=1+2=3$.

Propriété de la puissance

$\log(a^n)=n\times\log(a)$ pour $a>0$. C'est la propriété qui « fait descendre » l'exposant. Exemple : $\log(2^{10})=10\times\log(2)\approx 10\times 0{,}301=3{,}01$.

Sens de variation

La fonction $\log$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ : si $a<b$ (avec $a>0$) alors $\log(a)<\log(b)$. Exemple : comme $50<100$, on a $\log(50)<\log(100)=2$.

Résolution de $a^x=b$

Pour $a>0$, $a\neq 1$ et $b>0$, l'équation $a^x=b$ a pour solution $x=\dfrac{\log(b)}{\log(a)}$. Exemple : $2^x=8$ donne $x=\dfrac{\log(8)}{\log(2)}=3$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire $\log(a+b)=\log(a)+\log(b)$.

  ✓ FAUX. La propriété concerne le PRODUIT : $\log(a\times b)=\log(a)+\log(b)$. Il n'existe aucune formule simple pour $\log(a+b)$.

• ✗ Calculer $\log(0)$ ou $\log(-5)$.

  ✓ Impossible : $\log$ n'est défini que pour les nombres strictement positifs ($x>0$).

• ✗ Résoudre $2^x=10$ en écrivant $x=\dfrac{\log(2)}{\log(10)}$.

  ✓ On inverse le rapport : $a^x=b$ donne $x=\dfrac{\log(b)}{\log(a)}$, donc ici $x=\dfrac{\log(10)}{\log(2)}\approx 3{,}32$.

• ✗ Confondre $\log$ (base 10) avec autre chose.

  ✓ En STMG on utilise UNIQUEMENT le logarithme décimal $\log$ (touche « log » de la calculatrice), lié aux puissances de $10$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Combien vaut $\log(1000)$ ?
2. Quelle égalité est correcte pour $a>0$ et $b>0$ ?
3. Pour quelles valeurs de $x$ le nombre $\log(x)$ est-il défini ?
4. Quelle est la solution de l'équation $2^x=8$ ?
5. Combien vaut $\log(10^7)$ ?