Mesure et incertitudes

Les notions à connaître

Grandeur, valeur, unité

Une grandeur est la propriété physique que l'on mesure (tension, masse, température...), la valeur est le nombre obtenu et l'unité précise l'échelle utilisée. Un résultat sans unité n'a aucun sens. Exemple : dans $U = 12{,}3\ \text{V}$, la grandeur est la tension $U$, la valeur est $12{,}3$ et l'unité le volt.

Système international (SI)

Ensemble des 7 unités de base : le mètre (m), le kilogramme (kg), la seconde (s), l'ampère (A), le kelvin (K), la mole (mol) et la candela (cd). Toutes les autres unités s'en déduisent. Exemple : le volt s'exprime à partir des unités de base, $1\ \text{V} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-3}\cdot\text{A}^{-1}$.

Sources d'erreurs

Causes qui font varier le résultat d'une mesure : instrument (calibre, résolution), opérateur (parallaxe, déclenchement du chronomètre), conditions (température, vibrations), méthode. Exemple : lire un voltmètre au calibre $200\ \text{V}$ pour mesurer $1{,}5\ \text{V}$ donne une résolution de $0{,}1\ \text{V}$, soit une erreur relative pouvant atteindre $7\,\%$.

Justesse

Qualité d'une méthode dont la moyenne des mesures est proche de la valeur de référence (absence d'erreur systématique). Exemple : une balance qui affiche en moyenne $100{,}2\ \text{g}$ pour une masse étalon de $100{,}0\ \text{g}$ présente un défaut de justesse de $0{,}2\ \text{g}$.

Fidélité

Qualité d'une méthode dont les mesures répétées sont peu dispersées (écart-type faible), même si elles sont décalées par rapport à la référence. Exemple : un capteur donnant $99{,}9$ ; $100{,}0$ ; $100{,}1\ \Omega$ (écart-type $0{,}1\ \Omega$) est plus fidèle qu'un capteur donnant $98$ ; $100$ ; $102\ \Omega$ (écart-type $2\ \Omega$).

Incertitude-type (évaluation de type A)

Estimation statistique de la dispersion : on répète $n$ fois la mesure, on calcule la moyenne $\bar{x}$ et l'écart-type $s$, et l'incertitude-type sur la moyenne vaut $u(\bar{x}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$. Exemple : $s = 0{,}20\ \Omega$ sur $n = 16$ mesures donne $u(\bar{x}) = \dfrac{0{,}20}{4} = 0{,}05\ \Omega$.

Écriture d'un résultat de mesure

Un résultat s'écrit $x = (\bar{x} \pm u)\ \text{unité}$ : l'incertitude-type est arrondie à 1 ou 2 chiffres significatifs et la valeur est arrondie au même rang. Exemple : $\bar{m} = 12{,}3456\ \text{g}$ et $u = 0{,}012\ \text{g}$ donnent $m = (12{,}346 \pm 0{,}012)\ \text{g}$.

Comparaison à une valeur de référence

On calcule l'écart entre le résultat et la valeur de référence en nombre d'incertitudes-types : $z = \dfrac{|\bar{x} - x_{\text{ref}}|}{u(\bar{x})}$. Si $z \leqslant 2$, le résultat est compatible avec la référence. Exemple : $\bar{U} = 4{,}96\ \text{V}$, $x_{\text{ref}} = 5{,}00\ \text{V}$, $u = 0{,}03\ \text{V}$ donnent $z = \dfrac{0{,}04}{0{,}03} \approx 1{,}3$ : compatible.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Confondre justesse et fidélité : croire qu'une série de mesures très resserrées est forcément « bonne ».

  ✓ Des mesures resserrées mais toutes décalées de la référence sont fidèles mais PAS justes (erreur systématique, ex. balance mal tarée).

• ✗ Écrire un résultat avec trop de chiffres significatifs, ex. $R = 100{,}0347 \pm 0{,}05\ \Omega$.

  ✓ On arrondit la valeur au même rang que l'incertitude : $R = (100{,}03 \pm 0{,}05)\ \Omega$.

• ✗ Utiliser l'écart-type $s$ comme incertitude sur la moyenne.

  ✓ L'incertitude-type sur la MOYENNE est $u(\bar{x}) = \dfrac{s}{\sqrt{n}}$ : elle diminue quand on répète la mesure, contrairement à $s$.

• ✗ Conclure qu'une mesure est « fausse » dès qu'elle diffère de la valeur de référence.

  ✓ On compare l'écart à l'incertitude-type : si $|\bar{x} - x_{\text{ref}}| \leqslant 2\,u(\bar{x})$, le résultat est compatible avec la référence.

• ✗ Oublier l'unité ou la changer en cours de calcul (mélanger $\text{mm}$ et $\text{m}$).

  ✓ Convertir toutes les données dans les unités SI AVANT le calcul, et vérifier l'unité du résultat final.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Laquelle de ces unités fait partie des sept unités de base du système international ?
2. Dans le résultat de mesure « $R = 220\ \Omega$ », que représente le symbole $\Omega$ ?
3. Un capteur donne des mesures très resserrées entre elles, mais toutes nettement décalées par rapport à la valeur de référence. Ce capteur est :
4. On mesure quatre fois la résistance d'un composant : $99{,}8$ ; $100{,}2$ ; $100{,}0$ ; $100{,}4$ (en $\Omega$). Quelle est la moyenne de cette série ?
5. Une série de $n = 25$ mesures d'une résistance a un écart-type $s = 0{,}20\ \Omega$. Quelle est l'incertitude-type sur la moyenne ?