Dérivation et primitives

Les notions à connaître

Taux de variation et nombre dérivé

Le taux de variation de $f$ entre $x_0$ et $x_0 + \Delta x$ est $\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)_{x_0} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ ; le nombre dérivé $f'(x_0)$, noté aussi $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_0)$ ou $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)$, est sa limite quand $\Delta x$ tend vers $0$ : c'est un taux de variation « infinitésimal ». Exemple : pour $f(x) = x^2$ en $x_0 = 3$, le taux entre $3$ et $3{,}01$ vaut $6{,}01$, proche de $f'(3) = 6$.

Tangente et interprétation graphique

$f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$. En physique, si $x(t)$ est une position, $x'(t)$ est la vitesse instantanée et la dérivée de la vitesse est l'accélération. Exemple : si $x(t) = 3t^2 + 2t$ (en m), la vitesse à $t = 2\ \text{s}$ vaut $x'(2) = 6 \times 2 + 2 = 14\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

Approximation affine

Au voisinage de $x_0$ : $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + h\,f'(x_0)$ pour $h$ petit. Elle permet d'estimer l'accroissement d'une grandeur : $\Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x$. Exemple : si $f(2) = 5$ et $f'(2) = 3$, alors $f(2{,}1) \approx 5 + 0{,}1 \times 3 = 5{,}3$.

Dérivées des fonctions de référence

Pour $n$ entier naturel non nul, la dérivée de $x \mapsto x^n$ est $x \mapsto n\,x^{n-1}$ ; celle de $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$ ; celle de $\cos$ est $-\sin$ et celle de $\sin$ est $\cos$. Exemple : la dérivée de $x \mapsto x^3$ est $x \mapsto 3x^2$.

Opérations sur les dérivées

Somme : $(u + v)' = u' + v'$ ; produit : $(uv)' = u'v + uv'$ ; inverse : $\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ ; quotient : $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$. Un polynôme se dérive terme à terme. Exemple : $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ donne $f'(x) = 6x - 5$.

Dérivée de f(ax + b) et des fonctions sinusoïdales

La dérivée de $x \mapsto f(ax + b)$ est $x \mapsto a\,f'(ax + b)$. En particulier, la dérivée de $t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi)$ est $t \mapsto -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ et celle de $t \mapsto A\sin(\omega t + \varphi)$ est $t \mapsto A\omega\cos(\omega t + \varphi)$. Exemple : la dérivée de $u(t) = 5\cos(100\pi t)$ est $u'(t) = -500\pi\sin(100\pi t)$.

Sens de variation

Si $f' \geqslant 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f' \leqslant 0$, décroissante. On dresse le tableau de signes de $f'$ puis le tableau de variations de $f$ ; un changement de signe de $f'$ correspond à un extremum. Exemple : $f(x) = x^2 - 4x + 1$ a pour dérivée $f'(x) = 2x - 4$, négative avant $2$ et positive après : $f$ admet un minimum en $x = 2$.

Primitive

Une primitive de $f$ sur un intervalle est une fonction $F$ dérivable telle que $F' = f$. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : les primitives s'écrivent $F + C$. Exemple : $F(t) = 2t^3 + 4t$ est une primitive de $f(t) = 6t^2 + 4$, et toutes les primitives sont $2t^3 + 4t + C$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Dériver un produit terme à terme : $(uv)' = u'v'$.

  ✓ $(uv)' = u'v + uv'$. Exemple : $\left(x \times x\right)' = (x^2)' = 2x$, alors que $u'v' = 1 \times 1 = 1$ : la formule fausse ne redonne même pas ce cas simple.

• ✗ Se tromper dans l'ordre du numérateur du quotient : écrire $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{uv' - u'v}{v^2}$.

  ✓ C'est $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ : le « prime » commence sur $u$. Moyen mnémotechnique : « déridé moins dérid » — dérivée du haut fois bas, MOINS haut fois dérivée du bas.

• ✗ Oublier le facteur $\omega$ en dérivant $A\cos(\omega t + \varphi)$ : écrire $-A\sin(\omega t + \varphi)$.

  ✓ La dérivée de $f(ax + b)$ fait sortir le facteur $a$ : $\left(A\cos(\omega t + \varphi)\right)' = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$.

• ✗ Confondre dériver et primitiver un signal sinusoïdal (multiplier par $\omega$ au lieu de diviser).

  ✓ Dériver MULTIPLIE par $\omega$ (et transforme $\cos$ en $-\sin$) ; primitiver DIVISE par $\omega$ (et transforme $\cos$ en $\sin$). Vérifier en re-dérivant le résultat.

• ✗ Oublier la constante $C$ en donnant « la » primitive, ou conclure qu'une primitive est unique.

  ✓ Si $F' = f$, alors toutes les fonctions $F + C$ ($C$ réel) sont des primitives de $f$ : elles ont des courbes parallèles, translatées verticalement. Une condition initiale fixe $C$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = x^3$ ?
2. Quelle est la dérivée de la fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ (pour $x \neq 0$) ?
3. Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?
4. Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$ ?
5. On sait que $f(2) = 5$ et $f'(2) = 3$. Quelle est la valeur approchée de $f(2{,}1)$ donnée par l'approximation affine ?