Nombres complexes : forme algébrique et forme trigonométrique

Les notions à connaître

Forme algébrique

Tout nombre complexe s'écrit de façon unique $z = a + \mathrm{i}b$ avec $a$ et $b$ réels : $a = \text{Re}(z)$ est la partie réelle et $b = \text{Im}(z)$ la partie imaginaire (un nombre RÉEL, sans le $\mathrm{i}$). Le nombre $\mathrm{i}$ vérifie $\mathrm{i}^2 = -1$. Exemple : pour $z = 3 - 2\mathrm{i}$, $\text{Re}(z) = 3$ et $\text{Im}(z) = -2$.

Affixe d'un point, d'un vecteur

Dans un repère orthonormé direct, au complexe $z = a + \mathrm{i}b$ on associe le point $M(a\,;b)$ : $z$ est l'affixe de $M$, et aussi celle du vecteur $\overrightarrow{OM}$. Réciproquement, tout point du plan a une affixe. Exemple : le point $M(2\,;-3)$ a pour affixe $z_M = 2 - 3\mathrm{i}$, et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.

Conjugué

Le conjugué de $z = a + \mathrm{i}b$ est $\bar{z} = a - \mathrm{i}b$ : géométriquement, le point d'affixe $\bar{z}$ est le symétrique de celui d'affixe $z$ par rapport à l'axe des abscisses. On a $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$, un réel positif. Exemple : $\overline{4 + 5\mathrm{i}} = 4 - 5\mathrm{i}$ et $(4 + 5\mathrm{i})(4 - 5\mathrm{i}) = 16 + 25 = 41$.

Module

Le module de $z = a + \mathrm{i}b$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ : c'est la distance $OM$ du point $M$ d'affixe $z$ à l'origine (et $|z_B - z_A| = AB$). Exemple : $|3 + 4\mathrm{i}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Opérations : somme, produit, quotient

On calcule comme avec des polynômes en remplaçant $\mathrm{i}^2$ par $-1$. Pour un quotient, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur afin de rendre celui-ci réel. Exemple : $\dfrac{1}{1 - \mathrm{i}} = \dfrac{1 + \mathrm{i}}{(1 - \mathrm{i})(1 + \mathrm{i})} = \dfrac{1 + \mathrm{i}}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\mathrm{i}$.

Conjugué et opérations

Le conjugué est compatible avec les opérations : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}$ et $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\bar{z}}{\bar{z'}}$ (pour $z'$ non nul). Exemple : $\overline{(2 + \mathrm{i})(3 - \mathrm{i})} = (2 - \mathrm{i})(3 + \mathrm{i}) = 6 + 2\mathrm{i} - 3\mathrm{i} - \mathrm{i}^2 = 7 - \mathrm{i}$.

Module et opérations

Le module d'un produit est le produit des modules : $|z \times z'| = |z| \times |z'|$, et le module d'un quotient est le quotient des modules : $\left |\dfrac{z}{z'}\right | = \dfrac{|z|}{|z'|}$ ($z'$ non nul). Attention : pas de formule simple pour $|z + z'|$. Exemple : $|(3 + 4\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})| = 5 \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.

Argument et forme trigonométrique

Pour $z$ non nul, un argument de $z$ est une mesure $\theta$ de l'angle orienté entre l'axe des réels et $\overrightarrow{OM}$ ; on écrit alors la forme trigonométrique $z = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ avec $r = |z|$. On passe d'une forme à l'autre par $a = r\cos\theta$ et $b = r\sin\theta$. Exemple : $z = 1 + \mathrm{i}$ a pour module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{4}$, donc $z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + \mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Écrire $\text{Im}(3 - 2\mathrm{i}) = -2\mathrm{i}$.

  ✓ La partie imaginaire est le coefficient réel de $\mathrm{i}$ : $\text{Im}(3 - 2\mathrm{i}) = -2$.

• ✗ Oublier $\mathrm{i}^2 = -1$ dans un développement : $(2 + \mathrm{i})(1 - 3\mathrm{i}) = 2 - 6\mathrm{i} + \mathrm{i} - 3\mathrm{i}^2 = 2 - 5\mathrm{i} - 3$.

  ✓ $-3\mathrm{i}^2 = -3 \times (-1) = +3$, donc $(2 + \mathrm{i})(1 - 3\mathrm{i}) = 2 + 3 - 5\mathrm{i} = 5 - 5\mathrm{i}$.

• ✗ Calculer un module en additionnant : $|3 + 4\mathrm{i}| = 3 + 4 = 7$.

  ✓ $|3 + 4\mathrm{i}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ : on prend la racine de la somme des CARRÉS.

• ✗ Déterminer un argument avec le seul cosinus : conclure $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ dès que $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

  ✓ Deux angles ont ce cosinus : $\dfrac{\pi}{4}$ et $-\dfrac{\pi}{4}$. Il faut aussi contrôler le signe du sinus (celui de la partie imaginaire) pour trancher.

• ✗ Croire que $|z + z'| = |z| + |z'|$ dans les calculs de modules.

  ✓ Faux en général : pour $z = 1$ et $z' = \mathrm{i}$, $|z + z'| = |1 + \mathrm{i}| = \sqrt{2}$ alors que $|z| + |z'| = 2$. Seuls le produit et le quotient se comportent bien avec le module.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelles sont la partie réelle et la partie imaginaire de $z = 3 - 2\mathrm{i}$ ?
2. Quel est le conjugué de $z = 4 + 5\mathrm{i}$ ?
3. Que vaut $\mathrm{i}^2$ ?
4. Quel est le module de $z = 3 + 4\mathrm{i}$ ?
5. Développer et réduire : $(2 + \mathrm{i})(1 - 3\mathrm{i})$.