Produit scalaire

Les notions à connaître

Définition géométrique du produit scalaire

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert \times \cos\theta$ où $\theta$ est une mesure de l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ; si l'un des vecteurs est nul, $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Le résultat est un NOMBRE, pas un vecteur. Exemple : $\lVert\vec{u}\rVert = 3$, $\lVert\vec{v}\rVert = 4$ et $\theta = 60^{\circ}$ donnent $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} = 6$.

Projection orthogonale

Le produit scalaire s'interprète avec la projection orthogonale : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est le produit de $\lVert\vec{u}\rVert$ par la mesure algébrique de la projection de $\vec{v}$ sur l'axe dirigé par $\vec{u}$ ; $\lVert\vec{u}\rVert\cos\theta$ est la longueur algébrique de la projection de $\vec{u}$ sur l'axe dirigé par $\vec{v}$. Exemple : projeter une force de $100\ \text{N}$ inclinée de $60^{\circ}$ sur l'horizontale donne une composante utile de $100 \times \cos 60^{\circ} = 50\ \text{N}$.

Symétrie et bilinéarité

Le produit scalaire est symétrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$, et bilinéaire : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k\,(\vec{u} \cdot \vec{v})$. Exemple : si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$, alors $(2\vec{u}) \cdot (3\vec{v}) = 6 \times 5 = 30$.

Expression en base orthonormée

Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ et $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}$. Exemple : $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;-1)$ donnent $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times 4 + 3 \times (-1) = 5$ et $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Caractérisation de l'orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (le vecteur nul étant orthogonal à tout vecteur). C'est LE critère pratique pour prouver un angle droit. Exemple : $\vec{u}(6\,;-2)$ et $\vec{v}(1\,;3)$ vérifient $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6 \times 1 + (-2) \times 3 = 0$ : ils sont orthogonaux.

Calcul d'un angle non orienté

De la définition on tire $\cos\theta = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\lVert\vec{u}\rVert \times \lVert\vec{v}\rVert}$, ce qui permet de calculer l'angle entre deux vecteurs connus en coordonnées. Exemple : $\vec{u}(1\,;2)$ et $\vec{v}(3\,;1)$ donnent $\cos\theta = \dfrac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\theta = 45^{\circ}$.

Théorème d'Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ avec $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ : $a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc\cos\widehat{A}$. C'est la généralisation du théorème de Pythagore aux triangles quelconques (si $\widehat{A} = 90^{\circ}$, on retrouve $a^2 = b^2 + c^2$). Exemple : $b = 5$, $c = 7$, $\widehat{A} = 60^{\circ}$ donnent $a^2 = 25 + 49 - 70 \times \dfrac{1}{2} = 39$, soit $a = \sqrt{39} \approx 6{,}2$.

Égalité du parallélogramme

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\lVert\vec{u} + \vec{v}\rVert^2 + \lVert\vec{u} - \vec{v}\rVert^2 = 2\lVert\vec{u}\rVert^2 + 2\lVert\vec{v}\rVert^2$ : la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme égale la somme des carrés des quatre côtés. Exemple : avec $\lVert\vec{u}\rVert = 3$ et $\lVert\vec{v}\rVert = 4$, si une diagonale mesure $6$, l'autre vérifie $d^2 = 2 \times 9 + 2 \times 16 - 36 = 14$, soit $d = \sqrt{14}$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Croire que le produit scalaire de deux vecteurs est un vecteur.

  ✓ $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un NOMBRE réel (positif, négatif ou nul). Ne jamais écrire de flèche sur le résultat.

• ✗ Utiliser $xx' + yy'$ dans un repère qui n'est pas orthonormé.

  ✓ La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ n'est valable QUE dans une base orthonormée. Le programme se place toujours dans ce cadre : vérifie-le dans l'énoncé.

• ✗ Oublier le facteur $2$ ou se tromper de signe dans Al-Kashi : écrire $a^2 = b^2 + c^2 + 2 bc\cos\widehat{A}$.

  ✓ $a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc\cos\widehat{A}$, avec le signe MOINS. Contrôle : si $\widehat{A} = 90^{\circ}$, le terme disparaît et on retrouve Pythagore.

• ✗ Conclure $\theta = 45^{\circ}$ à partir de $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ (confusion entre valeurs remarquables).

  ✓ $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$ donne $\theta = 60^{\circ}$ ; c'est $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ qui donne $45^{\circ}$. Revoir le tableau des valeurs remarquables.

• ✗ Déduire de $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ que $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$.

  ✓ Contrairement au produit de deux réels, un produit scalaire nul signifie en général que les vecteurs sont ORTHOGONAUX, pas qu'un vecteur est nul.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est la définition géométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?
2. Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(2\,;3)$ et $\vec{v}(4\,;-1)$. Que vaut $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?
3. Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
4. Dans un repère orthonormé, quelle est la norme du vecteur $\vec{u}(3\,;-4)$ ?
5. Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(6\,;-2)$ et $\vec{v}(1\,;3)$. Que peut-on dire de ces vecteurs ?