Trigonométrie et fonctions sinusoïdales

Les notions à connaître

Cercle trigonométrique et radian

Cercle de centre $O$ et de rayon $1$, parcouru dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre). Le radian est la mesure d'angle telle que la longueur d'arc égale le rayon : $\pi\ \text{rad} = 180^{\circ}$. Exemple : $60^{\circ} = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\ \text{rad} \approx 1{,}05\ \text{rad}$.

Mesures d'un angle orienté, mesure principale

Un angle orienté admet une infinité de mesures, qui diffèrent toutes d'un multiple de $2\pi$. La mesure principale est l'unique mesure appartenant à $]-\pi\,;\pi]$. Exemple : les mesures de $\dfrac{17\pi}{4}$ sont $\dfrac{17\pi}{4} - 2k\pi$ ; en retirant $4\pi = \dfrac{16\pi}{4}$, on trouve la mesure principale $\dfrac{\pi}{4}$.

Cosinus et sinus d'un réel

Au réel $x$ on associe le point $M$ du cercle trigonométrique tel que l'angle orienté entre l'axe des abscisses et $\overrightarrow{OM}$ mesure $x$ : alors $M(\cos x\,; \sin x)$. On a toujours $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$, $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Exemple : pour $x = \dfrac{\pi}{2}$, $M(0\,;1)$ donc $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$.

Périodicité et parité

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. Cosinus est paire ($\cos(-x) = \cos x$, courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) et sinus est impaire ($\sin(-x) = -\sin x$, courbe symétrique par rapport à l'origine). Exemple : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.

Angles associés

Les relations entre les cosinus et sinus de $x$, $-x$, $\pi - x$, $\pi + x$, $\dfrac{\pi}{2} - x$ et $\dfrac{\pi}{2} + x$ se lisent par symétrie sur le cercle : par exemple $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$. Exemple : $\cos\dfrac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

Équations cos x = a et sin x = a

Elles se résolvent par lecture sur le cercle trigonométrique : la droite verticale d'abscisse $a$ (pour cos) ou horizontale d'ordonnée $a$ (pour sin) coupe le cercle en au plus deux points. Exemple : $\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi\,;\pi]$ a pour solutions $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$.

Fonction sinusoïdale t ↦ A cos$(\omega t + \varphi )$

Modèle des signaux périodiques en électricité et en mécanique : $A$ (positif) est l'amplitude, $\omega$ la pulsation, $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ la période, $f = \dfrac{1}{T}$ la fréquence ; $\omega t + \varphi$ est la phase instantanée et $\varphi$ la phase à l'origine. Exemple : $u(t) = 325\cos(100\pi t)$ modélise la tension du secteur : $A = 325\ \text{V}$ et $T = \dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02\ \text{s}$, soit $f = 50\ \text{Hz}$.

Courbes des fonctions circulaires

La courbe de cosinus démarre à son maximum $1$ en $x = 0$ ; celle de sinus démarre à $0$ en croissant. Sur $[0\,;\pi]$, cosinus décroît de $1$ à $-1$ ; sinus croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ puis décroît. Les symétries des courbes se justifient par les angles associés. Exemple : la courbe de $t \mapsto \sin t$ se déduit de celle de $t \mapsto \cos t$ par translation de $\dfrac{\pi}{2}$ vers la droite, car $\sin t = \cos\left(t - \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Les erreurs à éviter en physique-chimie et mathématiques

• ✗ Confondre les valeurs de $\cos\dfrac{\pi}{3}$ et $\cos\dfrac{\pi}{6}$ (écrire $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$).

  ✓ $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Astuce : plus l'angle est proche de $0$, plus le cosinus est proche de $1$, donc grand.

• ✗ Oublier la deuxième solution d'une équation trigonométrique : ne donner que $x = \dfrac{\pi}{3}$ pour $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

  ✓ Sur le cercle, la droite verticale d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ coupe le cercle en DEUX points : $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = -\dfrac{\pi}{3}$ dans $]-\pi\,;\pi]$.

• ✗ Prendre $T = \dfrac{2\pi}{t}$ ou confondre pulsation $\omega$ et fréquence $f$.

  ✓ La période se lit sur la pulsation : $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, puis $f = \dfrac{1}{T}$. Pour $u(t) = 325\cos(100\pi t)$ : $\omega = 100\pi$, $T = 0{,}02\ \text{s}$, $f = 50\ \text{Hz}$.

• ✗ Travailler en degrés avec une formule en radians (calculatrice en mode DEG pour évaluer $\cos(100\pi t)$).

  ✓ Dès que l'angle contient $\pi$ ou vient d'une pulsation, la calculatrice doit être en mode RADIAN. Vérifie le mode avant tout calcul.

• ✗ Écrire $\sin(\pi - x) = -\sin x$ par analogie avec le cosinus.

  ✓ C'est l'inverse : $\sin(\pi - x) = \sin x$ (les deux points ont la même ordonnée) et $\cos(\pi - x) = -\cos x$ (abscisses opposées). Toujours vérifier par un dessin du cercle.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est la mesure en radians d'un angle de $90^{\circ}$ ?
2. Que vaut $\cos\dfrac{\pi}{3}$ ?
3. Quelle est la période de la fonction sinus ?
4. Quelle est la mesure en degrés de l'angle $\dfrac{5\pi}{6}$ rad ?
5. La fonction cosinus est :