Second degré

Les notions à connaître

Forme développée

$f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$. C'est la forme de départ pour identifier $a$, $b$, $c$.

Forme canonique

Écriture $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ est l'abscisse du sommet et $\beta = f(\alpha)$ est l'extremum.

Discriminant

Nombre $\Delta = b^2 - 4 ac$ qui détermine le nombre de racines réelles du trinôme.

Racines

Solutions de $ax^2 + bx + c = 0$. Si $\Delta > 0$ : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$. Si $\Delta = 0$ : $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle.

Forme factorisée

Si $\Delta > 0$ : $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Si $\Delta = 0$ : $f(x) = a(x - x_0)^2$. Si $\Delta < 0$ : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

Somme et produit des racines

Quand $\Delta \geq 0$ : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ et $x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$.

Signe du trinôme

Si $\Delta > 0$ : le signe de $f(x)$ est celui de $a$ sauf entre les racines. Si $\Delta = 0$ : signe de $a$ partout (nul en $x_0$). Si $\Delta < 0$ : signe de $a$ partout.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Oublier le coefficient $a$ devant la forme factorisée : écrire $(x - x_1)(x - x_2)$ au lieu de $a(x - x_1)(x - x_2)$.

  ✓ La forme factorisée est TOUJOURS $a(x - x_1)(x - x_2)$. Le $a$ ne disparaît jamais.

• ✗ Se tromper de signe dans les racines : écrire $\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ avec un mauvais signe.

  ✓ Pose $\Delta$ d'abord, calcule $\sqrt{\Delta}$, puis applique la formule mécaniquement. Vérifie en remplaçant dans l'équation.

• ✗ Confondre « $\Delta < 0$ donc pas de racine » et « $\Delta < 0$ donc pas de signe ».

  ✓ $\Delta < 0$ signifie pas de racine réelle, mais le trinôme a bien un signe : celui de $a$, partout.

• ✗ Oublier le signe - dans la forme canonique : écrire $a(x - \frac{b}{2a})^2$ au lieu de $a(x + \frac{b}{2a})^2$.

  ✓ La forme canonique est $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a}$. Attention au signe devant $\frac{b}{2a}$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quel est le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ ?
2. Combien de racines réelles possède $x^2 + x + 1$ ?
3. Les racines de $x^2 - 5x + 6 = 0$ sont :
4. La forme canonique de $x^2 - 6x + 11$ est :
5. L'ensemble des solutions de $x^2 - 4x + 3 \leq 0$ est :