Probabilités conditionnelles

Les notions à connaître

Probabilité conditionnelle

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$, avec $P(A) > 0$. Probabilité de $B$ sachant que $A$ est réalisé.

Événements indépendants

$A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$, ou $P_A(B) = P(B)$.

Arbre pondéré

Chaque branche porte une probabilité. Produit le long d'un chemin $=$ $P(\text{intersection})$. Somme des chemins d'un événement $=$ sa probabilité.

Partition (système complet)

Événements $A_1, \ldots, A_n$ incompatibles deux à deux et de réunion $\Omega$. Ex : $A$ et $\bar{A}$.

Formule de Bayes

$P_B(A) = \frac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}$. Permet d'« inverser » le conditionnement.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre $P(A \cap B)$ et $P_A(B)$.

  ✓ $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$. Ne pas oublier de multiplier par $P(A)$.

• ✗ Confondre indépendance et incompatibilité.

  ✓ Incompatibles : ne peuvent pas arriver ensemble ($P(A \cap B) = 0$). Indépendants : $A$ n'influence pas $B$ ($P_A(B) = P(B)$). Très différent.

• ✗ Appliquer les probas totales avec les mauvais événements.

  ✓ Vérifie que tes événements forment une partition de $\Omega$ (incompatibles + réunion $= \Omega$).

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. La probabilité conditionnelle $P_A(B)$ se lit :
2. La formule de la probabilité conditionnelle est $P_A(B) =$ :
3. Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si :
4. On sait que $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) = 0{,}3$. La valeur de $P_A(B)$ est :
5. Un test de dépistage a une sensibilité de $95\%$ ($P_{\text{malade}}(\text{positif}) = 0{,}95$). Cela signifie :