Dérivation

Les notions à connaître

Nombre dérivé

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

Fonction dérivée

La fonction $x \mapsto f'(x)$ qui à chaque $x$ associe le nombre dérivé en $x$.

Tangente

Droite d'équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ au point d'abscisse $a$. Elle approche localement la courbe.

Lien dérivée-variations

Sur un intervalle $I$ : $f' > 0 \Rightarrow f$ strictement croissante ; $f' < 0 \Rightarrow f$ strictement décroissante ; $f' = 0$ en un point avec changement de signe $\Rightarrow$ extremum.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Dériver $\frac{1}{x}$ en $\frac{1}{x^2}$ (oubli du signe moins).

  ✓ $(x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. Le signe $-$ est systématique.

• ✗ Dans la formule du quotient, écrire $uv' - u'v$ au lieu de $u'v - uv'$.

  ✓ Moyen mnémo : « $u'v$ moins $uv'$ » — le dérivé est toujours en premier.

• ✗ Conclure extremum dès que $f'(a) = 0$, sans vérifier le changement de signe.

  ✓ $f'(a) = 0$ sans changement de signe = pas d'extremum (ex : $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais pas d'extremum).

• ✗ Oublier le $f(a)$ dans l'équation de la tangente.

  ✓ $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Le $+f(a)$ est indispensable, c'est l'ordonnée du point de tangence.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. La dérivée de $f(x) = x^3$ est :
2. La dérivée de $f(x) = 5x^2 - 3x + 7$ est :
3. La dérivée de $f(x) = \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ est :
4. L'équation de la tangente à $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $3$ est :
5. La dérivée de $f(x) = (2x+1)^3$ est :