Produit scalaire

Les notions à connaître

Produit scalaire (géométrique)

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$. C'est un nombre réel, pas un vecteur.

Produit scalaire (coordonnées)

Dans un repère orthonormé : $\vec{u}\binom{x}{y} \cdot \vec{v}\binom{x'}{y'} = xx' + yy'$.

Orthogonalité

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. C'est LE critère de perpendicularité.

Norme d'un vecteur

$\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u} \cdot \vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal de $B$ sur $(OA)$ est le point $H$ tel que $\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OA}$.

Bilinéarité

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Utiliser $xx' + yy'$ dans un repère non orthonormé.

  ✓ Cette formule ne marche QUE dans un repère orthonormé. Sinon, utilise une autre expression.

• ✗ Dire que le produit scalaire est un vecteur.

  ✓ $\vec{u} \cdot \vec{v}$ est un NOMBRE réel (un scalaire). D'où le nom « scalaire ».

• ✗ Oublier le facteur $-2$ dans Al-Kashi.

  ✓ $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\widehat{BAC})$. Le $-2$ est essentiel.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ avec $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-4\end{pmatrix}$ vaut :
2. Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, alors les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont :
3. La norme du vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ est :
4. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\alpha)$. Si $\|\vec{u}\| = 4$, $\|\vec{v}\| = 3$ et $\alpha = \frac{\pi}{3}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} =$ :
5. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ vaut :