Fonction exponentielle

Les notions à connaître

Définition

Unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f' = f$ et $f(0) = 1$. Notée $\exp$ ou $\mathrm{e}^x$.

Propriété fondamentale

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\mathrm{e}^{a+b} = \mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b$. L'exponentielle transforme les sommes en produits.

Signe

$\mathrm{e}^x > 0$ pour tout réel $x$. L'exponentielle ne s'annule JAMAIS et ne prend jamais de valeur négative.

Équation $\mathrm{e}^x = k$

Si $k > 0$ : unique solution $x = \ln(k)$. Si $k \leq 0$ : aucune solution.

Croissance

$\mathrm{e}^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : $\mathrm{e}^a < \mathrm{e}^b \iff a < b$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire $\mathrm{e}^0 = 0$ au lieu de $\mathrm{e}^0 = 1$.

  ✓ $\mathrm{e}^0 = 1$ toujours.

• ✗ Oublier $u'$ dans la dérivée de $\mathrm{e}^u$ : écrire $(\mathrm{e}^u)' = \mathrm{e}^u$.

  ✓ C'est une dérivée composée : $(\mathrm{e}^u)' = u' \cdot \mathrm{e}^u$.

• ✗ Écrire $\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{ab}$ au lieu de $\mathrm{e}^{a+b}$.

  ✓ L'exponentielle transforme les SOMMES en produits : $\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}$.

• ✗ Diviser par $\mathrm{e}^x$ en ayant peur que ce soit nul.

  ✓ $\mathrm{e}^x > 0$ toujours, on peut toujours simplifier par $\mathrm{e}^x$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. La valeur de $e^0$ est :
2. La dérivée de $f(x) = e^x$ est :
3. L'expression $e^3 \times e^4$ est égale à :
4. La solution de $e^{2x} = e^5$ est :
5. La dérivée de $f(x) = e^{3x+1}$ est :