Variables aléatoires

Les notions à connaître

Variable aléatoire

Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience aléatoire.

Loi de probabilité

Tableau donnant chaque valeur prise par $X$ et sa probabilité. $\sum P(X = x_i) = 1$.

Espérance

$E(X) = \sum x_i P(X = x_i)$. Valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.

Variance et écart-type

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Mesure la dispersion autour de l'espérance.

Épreuve de Bernoulli

Expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$).

Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

$X$ compte le nombre de succès dans $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ dans $P(X = k)$.

  ✓ $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de placer les $k$ succès parmi $n$ épreuves. Indispensable.

• ✗ Confondre variance et écart-type.

  ✓ $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. L'écart-type est la racine de la variance.

• ✗ Appliquer $\mathcal{B}(n,p)$ sans vérifier l'indépendance.

  ✓ Tirage sans remise $\to$ PAS binomial (sauf si la population est très grande par rapport à $n$).

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. L'espérance d'une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $1$, $2$, $3$ avec les probabilités $0{,}2$, $0{,}5$, $0{,}3$ est :
2. La somme de toutes les probabilités d'une loi de probabilité doit être égale à :
3. Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors $E(X) =$ :
4. Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}3)$, son espérance est :
5. La variance de $X$ se note $V(X)$. L'écart-type $\sigma(X)$ est :