MathématiquesChapitre 1

Limites et continuité

L'essentiel en 30 secondes

Une fonction admet une limite en un point ou en l'infini : c'est la valeur vers laquelle elle « tend ». Tu dois savoir calculer des limites par opérations, lever les formes indéterminées ($+\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$), et utiliser le théorème des gendarmes. Le TVI + monotonie stricte donne l'existence ET l'unicité d'une solution.

Les notions à connaître

Limite finie en $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ devient très grand. La droite $y = L$ est asymptote horizontale.
Limite infinie en un point: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : la droite $x = a$ est asymptote verticale.
Forme indéterminée (FI): Cas où les règles d'opérations ne suffisent pas. Les 4 FI : $+\infty - \infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ .
Continuité: $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine.
TVI: Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe $c \in [a\,;b]$ tel que $f(c) = k$ .
Corollaire du TVI: Si $f$ est continue ET strictement monotone sur $[a\,;b]$ , et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors $f(x) = k$ a une UNIQUE solution sur $[a\,;b]$ .
Asymptote oblique: Si $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (mx + p)] = 0$ , la droite $y = mx + p$ est asymptote oblique.

Les erreurs à éviter en mathématiques

Écrire $+\infty - \infty = 0$ ou $\frac{\infty}{\infty} = 1$ .
Ce sont des FI : il faut lever l'indétermination par factorisation ou croissances comparées.
Conclure unicité avec le TVI sans vérifier la monotonie stricte.
Le TVI seul ne donne que l'existence. L'unicité nécessite $f$ strictement monotone.
Oublier de distinguer limites à gauche et à droite en un point.
Toujours préciser $\lim_{x \to a^-}$ et $\lim_{x \to a^+}$ , surtout pour $\frac{1}{x}$ en $0$ .

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

Quelle est la limite de $\frac{3n^2 + 1}{n^2 - 5}$ quand $n \to +\infty$ ?
Quelle est la limite de $\frac{\sin(x)}{x}$ quand $x \to 0$ ?
Soit $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ . Peut-on prolonger $f$ par continuité en $x = 2$ ?
Quelle est la forme indéterminée rencontrée dans $\lim_{x \to +\infty} (x^2 - e^x)$ ?
L'équation $e^x = 5x$ admet au moins une solution sur $[0\,;\,+\infty[$ . Quel théorème le garantit ?

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