MathématiquesChapitre 7

Combinatoire et dénombrement

L'essentiel en 30 secondes

Dénombrer = compter le nombre de façons de choisir ou d'arranger des éléments. Les deux outils fondamentaux sont les permutations (ordre compte) et les combinaisons (ordre ne compte pas). Le coefficient binomial \binom{n}{k} compte le nombre de parties à k éléments dans un ensemble de n éléments.

Les notions à connaître

Factorielle: n! $= n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1.$ Par convention, 0! = 1.
Permutation: Arrangement de n objets tous différents. Il y a n! permutations de n éléments.
Combinaison: Choix de k éléments parmi n, SANS tenir compte de l'ordre. Noté $\binom{n}{k}.$
Principe multiplicatif: Si une action se décompose en étapes indépendantes avec $n_1, n_2, \ldots, n_p$ choix, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p.$

Les erreurs à éviter en mathématiques

Utiliser $\binom{n}{k}$ quand l'ordre est important
Si l'ordre compte (ex : classement, code), ce n'est PAS une combinaison. Utilise n!/(n-k)! ou le principe multiplicatif.
Confondre $\binom{n}{k}$ et $\frac{n!}{k!}$
La combinaison est $\frac{n!}{k!(n-k)!} :$ ne pas oublier le (n-k)! au dénominateur.
Calculer $\binom{30}{3} = 30 \times 29 \times$ 28 sans diviser par 3!
$30 \times 29 \times$ 28 est le nombre d'arrangements. Pour la combinaison, il faut diviser par 3! = 6.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

Que vaut $5!$ (factorielle $5$ ) ?
Que vaut $\binom{5}{2}$ ?
Combien de codes à 4 chiffres (de $0$ à $9$ ) peut-on former avec répétition ?
De combien de façons peut-on choisir un comité de $3$ personnes parmi $8$ ?
Combien de permutations de $4$ lettres distinctes existe-t-il ?

Accède à la fiche complète

Crée ton compte gratuit pour lire la fiche en entier et accéder à 7 000+ contenus de révision.

Créer un compte gratuit Se connecter