Lois de probabilité : binomiale et normale

Les notions à connaître

Épreuve de Bernoulli

Expérience à deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p).

Loi binomiale B(n,p)

X suit B(n,p) si X compte le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$

Loi continue, symétrique autour de $\mu,$ en forme de cloche$. \mu$ est l'espérance$, \sigma l'$écart-type.

Loi normale centrée réduite

$\mathcal{N}(0,1) :$ loi normale de référence. On s'y ramène par la transformation $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}.$

Intervalle de fluctuation

Intervalle dans lequel la fréquence observée a 95 % de chances de se trouver. Sert à tester une hypothèse.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre P(X = k) et $P(X \leq$ k) pour la loi binomiale

  ✓ $P(X \leq$ k) est la fonction de répartition (somme cumulée). Sur la calculatrice, c'est BinomialFré$q/binomcdf,$ pas binompdf.

• ✗ Calculer P(X = k) pour une loi normale

  ✓ Pour une loi continue, P(X = k) = 0 toujours. On calcule $P(a \leq X \leq$ b) avec la calculatrice.

• ✗ Appliquer l'intervalle de fluctuation sans vérifier les conditions

  ✓ Toujours vérifier $n \geq$ 30, np $\geq$ 5 et $n(1-p) \geq$ 5 avant d'utiliser l'approximation normale.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. On lance $10$ fois une pièce équilibrée. La variable $X$ comptant le nombre de Pile suit une loi :
2. Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$, alors $E(X) =$ ?
3. La courbe de la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0\,;\,1)$ est :
4. Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}3)$. La variance $V(X)$ vaut :
5. $P(X = k)$ pour $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ se calcule par :