MathématiquesChapitre 3

Fonction logarithme népérien

L'essentiel en 30 secondes

La fonction $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle : $\ln(\mathrm{e}^x) = x$ et $\mathrm{e}^{\ln x} = x$. Définie sur $]0\,;+\infty[$, strictement croissante. Elle transforme les produits en sommes : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$. Croissances comparées : $\ln x \ll x^n \ll \mathrm{e}^x$ en $+\infty$.

Les notions à connaître

Définition de $\ln$: Pour tout $x > 0$ , $\ln x$ est l'unique réel $y$ tel que $\mathrm{e}^y = x$ . Autrement dit, $\ln = \exp^{-1}$ .
Propriétés algébriques: $\ln$ transforme les produits en sommes, les quotients en différences, les puissances en produits.
Croissances comparées: En $+\infty$ : $\frac{\ln x}{x^n} \to 0$ . En $0^+$ : $x^n \ln x \to 0$ . La puissance l'emporte toujours.
Domaine de définition: $\ln(f(x))$ n'existe que si $f(x) > 0$ . Toujours vérifier le domaine !

Les erreurs à éviter en mathématiques

Écrire $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ .
FAUX. La propriété est $\ln(a \times b) = \ln a + \ln b$ . Pas de formule pour $\ln(a + b)$ .
Oublier de vérifier que l'argument du $\ln$ est $> 0$ .
Avant résolution, poser le domaine. Après, vérifier chaque solution.
Confondre $\ln(x^2)$ et $(\ln x)^2$ .
$\ln(x^2) = 2\ln |x|$ (propriété puissance). $(\ln x)^2$ est le carré de $\ln x$ .

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

Que vaut $\ln(e^3)$ ?
L'ensemble de définition de $f(x) = \ln(2x - 6)$ est :
Que vaut $\ln(a) + \ln(b)$ ?
Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x)$ pour $x > 0$ ?
Résoudre $\ln(x) = 2$ :

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