Suites : limites et récurrence

Les notions à connaître

Suite convergente

La suite $(u_n)$ converge vers L si $u_n$ peut être rendu aussi proche de L qu'on veut pour n assez grand.

Raisonnement par récurrence

Pour prouver P(n) pour tout $n \geqslant n_0 : 1)$ Initialisation (vérifier $P(n_0)), 2) H$érédité (supposer P(n), montrer P(n+1)), 3) Conclure.

Suite monotone bornée

Toute suite croissante majorée converge. Toute suite décroissante minorée converge.

Suite arithmético-géométrique

Suite de la forme $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1.$ On cherche le point fixe $\ell = a\ell + b$ puis on pose $v_n = u_n - \ell.$

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire « donc par récurrence, pour tout $n \geq$ 0, P(n) est vraie » sans avoir fait l'initialisation

  ✓ L'initialisation est indispensable. Sans elle, la récurrence ne démarre pas et la démonstration est fausse.

• ✗ Appliquer la somme géométrique avec la mauvaise formule

  ✓ Attention $: \sum_{k=0}^{n} q^k a (n+1)$ termes et le résultat est $(1-q^{n+1})/(1-q),$ pas $(1-q^n)/(1-q).$

• ✗ Dire « la suite converge car elle est croissante »

  ✓ Croissante ne suffit pas ! Il faut aussi qu'elle soit majorée pour garantir la convergence.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. La suite définie par $u_n = \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ converge vers :
2. Si $u_n = (-1)^n$, alors la suite $(u_n)$ :
3. Soit $u_n = \frac{5n + 1}{n + 3}$. La limite de $(u_n)$ est :
4. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n + 3}{2}$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell =$ ?
5. Quelle est la limite de $q^n$ quand $n \to +\infty$ pour $q = 0{,}9$ ?