Géométrie dans l'espace

Les notions à connaître

Vecteur normal à un plan

Un vecteur $\vec{n}$ est normal au plan P si il est orthogonal à tout vecteur de P. L'équation du plan est alors $ax + by + cz + d = 0$ avec $\vec{n}(a\,;b\,;c)$.

Représentation paramétrique d'une droite

Une droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ s'écrit : $$\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$$ avec $t \in \mathbb{R}$.

Produit scalaire dans l'espace

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz' = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v})$.

Orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Projeté orthogonal

Le projeté orthogonal de M sur un plan P est le point H de P tel que $\overrightarrow{MH}$ est normal à P. C'est le point de P le plus proche de M.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Confondre vecteur directeur de la droite et vecteur normal du plan

  ✓ Le vecteur directeur donne la DIRECTION de la droite. Le vecteur normal est PERPENDICULAIRE au plan. Droite ⊥ plan ⟺ $\vec{u}_{\text{droite}} // \vec{n}_{\text{plan}}.$

• ✗ Oublier la valeur absolue dans la formule de distance point-plan

  ✓ La distance est toujours positive. N'oublie pas les | | au numérateur.

• ✗ Dire que deux droites non parallèles sont sécantes

  ✓ Dans l'espace (contrairement au plan), deux droites non parallèles peuvent être non coplanaires, donc ni parallèles ni sécantes.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Combien de faces possède un tétraèdre ?
2. Deux droites de l'espace qui n'ont aucun point commun sont :
3. Un vecteur normal au plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$ est :
4. Soit $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et $B(3\,;\,-1\,;\,5)$. Les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ sont :
5. Une représentation paramétrique de la droite passant par $A(1\,;\,2\,;\,3)$ de vecteur directeur $\vec{u}(2\,;\,0\,;\,-1)$ est :