Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

Les notions à connaître

Somme de variables aléatoires

Si X et Y sont définies sur le même univers, X+Y est la variable qui à chaque issue $\omega$ associe $X(\omega )+Y(\omega ).$ Pour n variables : $S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$.

Linéarité de l'espérance

$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ TOUJOURS (même si X et Y ne sont pas indépendantes). Plus généralement : $E(aX+bY+c) = aE(X) + bE(Y) + c$.

Additivité de la variance

Si X et Y sont INDÉPENDANTES : $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$. Si dépendantes, c'est faux en général. Toujours vrai : $V(aX) = a^2 V(X)$.

Échantillon i.i.d.

Suite $(X_1, \dots, X_n)$ de variables Indépendantes et Identiquement Distribuées (même loi). C'est le modèle standard pour modéliser n répétitions indépendantes d'une expérience.

Moyenne empirique

Pour un échantillon i.i.d. : $\bar{X}_n = \dfrac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$. Si les $X_i$ ont pour espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$, alors $E(\bar{X}_n) = \mu$ et $V(\bar{X}_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable aléatoire X d'espérance $\mu$ et de variance $V(X)$, et tout $a > 0$ : $$P(|X - \mu | \geq a) \leq \dfrac{V(X)}{a^2}$$

Inégalité de concentration

Appliquée à la moyenne empirique : $$P(|\bar{X}_n - \mu | \geq a) \leq \dfrac{\sigma^2}{n a^2}$$ $\to$ quand n grandit, la probabilité s'écraser à 0.

Loi (faible) des grands nombres

Pour $(X_n)$ i.i.d. d'espérance $\mu$ et de variance finie, pour tout $\varepsilon > 0$ : $$\lim_{n \to +\infty} P(|\bar{X}_n - \mu | \geq \varepsilon) = 0$$ La moyenne empirique converge en probabilité vers l'espérance.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire V(X+Y) = V(X) + V(Y) sans vérifier l'indépendance

  ✓ L'additivité de la variance EXIGE l'indépendance. Sans elle, $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$. Toujours mentionner l'indépendance explicitement.

• ✗ Confondre $V(\bar{X}_n)$ et $V(X)$

  ✓ $V(X)$ est la variance d'UNE variable. $V(\bar{X}_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$ est la variance de la MOYENNE. Plus n est grand, plus la moyenne est concentrée autour de $\mu$.

• ✗ Mal appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

  ✓ Bien identifier les rôles : $X$ = variable, $\mu = E(X)$, $a$ = écart, $V(X)$ = variance. $P(|X - \mu | \geq a) \leq V(X)/a^2$. L'inégalité est SOUVENT large : c'est une majoration, pas une valeur exacte.

• ✗ Confondre loi des grands nombres et théorème central limite

  ✓ La loi des grands nombres dit que $\bar{X}_n \to \mu$ (convergence). Le TCL (hors-programme) dit que $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)$ suit asymptotiquement une loi normale. Au bac, seule la LGN et l'inégalité de concentration sont exigibles.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. L'égalité $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ est vraie :
2. L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est vraie :
3. Pour $a$ et $b$ réels, $V(aX + b)$ vaut :
4. Pour un échantillon i.i.d. $(X_1, \dots, X_n)$ de loi d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$, la variance de la moyenne empirique $\bar{X}_n$ vaut :
5. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit :