Compléments sur la dérivation

Les notions à connaître

Composition de fonctions

$(f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x))$. On dérive l'intérieur ($u'$) puis on multiplie par la dérivée de l'extérieur évaluée en $u(x)$.

Convexité

$f$ est convexe sur $I$ si $f'' \geq 0$ sur $I$ (courbe en creux). $f$ concave si $f'' \leq 0$ (courbe en cloche).

Point d'inflexion

Point où la courbe change de convexité. $f''(x_0) = 0$ et $f''$ change de signe. La tangente traverse la courbe.

Position $tangente/courbe$

$f$ convexe $\Rightarrow$ la courbe est au-dessus de ses tangentes. $f$ concave $\Rightarrow$ en dessous.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Oublier $u'$ dans la dérivée d'une composée.

  ✓ Toujours identifier $u(x)$ et calculer $u'(x)$. Ex : $(\mathrm{e}^{3x})' = 3\mathrm{e}^{3x}$, pas $\mathrm{e}^{3x}$.

• ✗ Confondre convexe et concave.

  ✓ ConVexe = en V (creux). ConCave = en $\cap$ (cloche). Retiens le V de conVexe.

• ✗ Dire point d'inflexion dès que $f'' = 0$ sans vérifier le changement de signe.

  ✓ $f''(a) = 0$ ne suffit pas : il faut que $f''$ change de signe en $a$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{3x+1}$ ?
2. La fonction $f(x) = x^2 e^{-x}$ est définie sur $\mathbb{R}$. Quelle est $f'(x)$ ?
3. Si $f(x) = \cos(2x)$, que vaut $f'(\pi/4)$ ?
4. Quelle est la dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ ?
5. Soit $f(x) = \sqrt{2x+3}$. Quel est le domaine de dérivabilité de $f$ ?