Équations différentielles

Les notions à connaître

Équation différentielle

Égalité qui relie une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$, par exemple $y' = 2y + 1$. Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ dérivable sur $I$ telle que $f'(x) = 2f(x) + 1$ pour tout $x \in I$.

Équation y' = f et primitives

Les solutions de $y' = f$ sont les primitives de $f$. Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante : si $F$ en est une, toutes sont de la forme $F + C$.

Équation y' = ay

Ses solutions sont les fonctions $x \mapsto C\mathrm{e}^{ax}$, $C \in \mathbb{R}$. La somme de deux solutions et le produit d'une solution par une constante sont encore des solutions. Pour $a = 1$ et $y(0) = 1$, on retrouve la fonction exponentielle.

Solution particulière

Une solution précise de l'équation : la solution constante $-\frac{b}{a}$ pour $y' = ay + b$, ou une solution $\varphi$ donnée par l'énoncé pour $y' = ay + f$. Toutes les solutions s'obtiennent en lui ajoutant les solutions de $y' = ay$.

Condition initiale

Donnée du type $y(x_0) = y_0$. Pour $y' = ay + b$, une condition initiale détermine une unique solution.

Méthode d'Euler

Méthode de calcul approché : sur un petit pas $h$, on remplace la courbe par sa tangente, d'où $f(x + h) \approx f(x) + h\,f'(x)$, et on répète pas à pas à partir de la condition initiale.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Écrire $\mathrm{e}^{ax} + C$ pour les solutions de $y' = ay$

  ✓ La constante multiplie : $C\mathrm{e}^{ax}$. Vérifie : la dérivée de $\mathrm{e}^{ax} + C$ est $a\mathrm{e}^{ax}$, qui n'est pas égale à $a(\mathrm{e}^{ax} + C)$ dès que $C \neq 0$ et $a \neq 0$.

• ✗ Se tromper de signe sur la solution constante de $y' = ay + b$

  ✓ Elle vaut $-\frac{b}{a}$. Plutôt que d'apprendre la formule, pose $y' = 0$ : $0 = ac + b$, d'où $c = -\frac{b}{a}$.

• ✗ Utiliser la condition initiale sur $C\mathrm{e}^{ax}$ seul

  ✓ Écris d'abord la solution générale complète $C\mathrm{e}^{ax} - \frac{b}{a}$, puis impose $y(x_0) = y_0$ pour trouver $C$.

• ✗ Oublier le pas $h$ dans la méthode d'Euler

  ✓ On ajoute $h \times y'(x_n)$, pas $y'(x_n)$ : $y_{n+1} = y_n + h\,y'(x_n)$.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = 3y$ sont les fonctions :
2. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = 2x + 1$ sont les fonctions :
3. Quelle est la solution constante de l'équation différentielle $y' = -2y + 6$ ?
4. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y' = 2y - 4$ sont les fonctions :
5. La fonction $f$ est solution de $y' = -y$ sur $\mathbb{R}$ et vérifie $f(0) = 5$. Pour tout réel $x$, $f(x) =$