Fonctions sinus et cosinus

Les notions à connaître

Fonction cosinus

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto \cos x$, paire et $2\pi$-périodique, à valeurs dans $[-1\,;\,1]$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\cos x)' = -\sin x$.

Fonction sinus

Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto \sin x$, impaire et $2\pi$-périodique, à valeurs dans $[-1\,;\,1]$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\sin x)' = \cos x$.

Fonction périodique

Une fonction $f$ est $T$-périodique si $f(x + T) = f(x)$ pour tout réel $x$. Pour sinus et cosinus, $T = 2\pi$ : on les étudie sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$, puis on reproduit la courbe par translation.

Sinusoïde

Nom des courbes de sinus et de cosinus. Comme $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, la courbe de cosinus est l'image de celle de sinus par la translation de vecteur $-\frac{\pi}{2}\,\vec{i}$.

Optimum

Plus grande (maximum) ou plus petite (minimum) valeur d'une fonction sur un intervalle. On la trouve avec le tableau de variations, sans oublier les valeurs aux bornes.

Les erreurs à éviter en mathématiques

• ✗ Dériver $\cos x$ en $\sin x$

  ✓ $(\cos x)' = -\sin x$. En dérivant, on tourne : $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$.

• ✗ Oublier le facteur $a$ en dérivant $\cos(ax + b)$

  ✓ $(\cos(ax + b))' = -a\sin(ax + b)$ : la dérivée de $ax + b$, c'est-à-dire $a$, apparaît en facteur.

• ✗ Ne donner qu'une solution de $\cos x = a$

  ✓ Sur $[-\pi\,;\,\pi]$, si $-1 < a < 1$, il y a deux solutions opposées $\alpha$ et $-\alpha$, car cosinus est paire.

• ✗ Répondre à l'inéquation $\cos x \leqslant a$ par les solutions de l'équation

  ✓ Les solutions de $\cos x = a$ ne sont que les bornes. Repère sur le cercle l'arc des points d'abscisse inférieure ou égale à $a$.

• ✗ Calculer en degrés

  ✓ Les formules $(\sin x)' = \cos x$ et $(\cos x)' = -\sin x$ ne valent qu'en radians : règle la calculatrice en mode radian.

Sais-tu répondre à ces questions ?

Les corrigés détaillés sont dans le quiz du chapitre.

1. La dérivée de la fonction $x \mapsto \cos x$ est la fonction :
2. La dérivée de $f(x) = \sin(3x)$ est :
3. Sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$, la fonction cosinus est :
4. Sur $[-\pi\,;\,\pi]$, l'ensemble des solutions de l'équation $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ est :
5. Sur $[-\pi\,;\,\pi]$, l'ensemble des solutions de l'inéquation $\cos x \geqslant 0$ est :